142857의 비밀

142857에 1부터 6까지 차례로 곱하면  
142857 X 1 = 142857   
142857 X 2 = 285714   
142857 X 3 = 428571   
142857 X 4 = 571428   
142857 X 5 = 714285   
142857 X 6 = 857142  
같은 숫자가 자릿수만 바꿔서 나타납니다.

142857 X 7 = 999999
142 + 857 = 999
14 + 28 + 57 = 99 입니다.

142857 을 제곱하면 20408122449 라는 수가 나오는데   
20408 + 122449 = 142857 이 됩니다.

142857은 어떤 수를 7로 나누면 몫과 나머지가 나오는데
그 나머지가 바로 142857 여섯개의 숫자로 이루어진 순환소수입니다.

예를 들어

1/7 = 0.142857142857...

2/7 = 0.285714285714...

3/7 = 0.428571428571...   

4/7 = 0.571428571428...

5/7 = 0.714285...

6/7 = 0.857142...

즉 142857 이 반복됩니다.
근데 1/7 에서 6/7 까지 어떤 규칙이 있는데요,

분수를 소수로 나타냈을때 소숫점 첫자리를 보면

그것은 142857을 숫자의 크기 대로 1, 2, 4, 5, 7, 8의 여섯개가 되고 (7로 나눈 나머지이니까),

여섯개 숫자의 크기 순서로 시작해서 여섯자리를 한 묶음으로 반복됩니다.

무슨 말인가 하면  142857142857142857... 이 무한 반복될 때, 
7로 나눈 분수의 나머지 처럼 위의 1, 2, 4, 5, 7, 8 중 어느 숫자로
시작해서 6개로 이루어진 한 묶음이 계속되는 순환소수가 됩니다.

왜냐하면 당연히 1/7 보다 2/7 이 크고 다음으로 3/7 이 크기 때문이죠.
그래서 6/7은 여섯개의 숫자중 가장 큰 8로 시작해서 857142가 반복한다는 겁니다.